プラントモデルの作成方法(準備編)

プラントモデルがどのようなものかについてはこちらで解説記事を書きました。

ここでは実際にプラントモデルを作成する方法を紹介します。

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制御対象物について

制御対象物は以下のような簡単なラジコンのようなものを考えてみたいと思います。

  • モーターが回転することでタイヤが回り、前後方向に動作する。
  • モーターはコントローラーから指示されたトルクをそのまま出力する。
  • 勾配角(坂道の角度)はセンサー等で分かるものとする。

モーターの力でタイヤが回るイメージはタミヤのホームページが参考になります。

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モーターが回るとギアを通じてシャフトも回り、その結果シャフトにつながっているタイヤも回るという仕組みです。

上記ページではギア比についても記載がありますが、ここではギア比は考えずモーターが1回転したらタイヤも1回転するものとします。

運動方程式を立てる

制御対象物がどのように動くのか、まずは運動方程式を立ててみます。

知りたいのは制御対象物が受けるどう動くか、つまり速度がどうなるのかです。

速度がどうなるかは加速度が分かれば計算できそうです。

そこで、加速度を求める運動方程式を考えます。ニュートンの運動方程式は

\(ma=F\)

なので、

\(加速度a=\frac{F}{m}\)です。

このうち物体の重さmは分かっているものとして、あとは制御対象物が受ける力\(F\)が求まれば加速度が求まります。

次に制御対象部が受ける力を考えます。

以下に制御対象物が受ける力を表してみました。

モーターの力で前に進もうとしますが、重力がかかるので坂道を下がろうともします。また、その他として外乱の力も発生して押し戻されます。そのため、制御対象物にかかる力\(F\)は

\(モーターによる駆動力-重力でずり下がる力-外乱要因\)

と表すことができます。

モーターによる駆動力

モーターはコントローラーから受け取ったトルクを発生させます。そのためモーターのトルク=指示された値となります。

タイヤが繋がっているシャフトはモーターと同じ速さで回転するのでシャフトのトルク=モーターのトルクです。

また、トルクの定義は回転の中心からの距離×力です。

そのため、回転の中心からr[m]離れているところでは\(\frac{トルク}{r}\)の力が発生することになります。

\(r\)をタイヤの半径に置き換えれば、モーターからタイヤに伝わる駆動力\(F_1\)は

\(\frac{モーターのトルク}{タイヤの半径}\)

と表すことができます。

重力

物体には重力がかかるので、それを考慮する必要があります。

重力の加速度を\(g\)、物体の重さを\(m\)とすると 垂直の向きには\(mg\)の力がかかります。

坂道の角度が\(θ\) とすると、ずり下がる力\(F_2\)は重力を分解して

\(mgsinθ\)

と表すことができます。

外乱

外乱とは想定外の謎の力のことです。

ここで言う謎の力とは目に見えない妖精さんが邪魔するとかそういうことではなく、例えば摩擦や風による走行抵抗、タイヤの回りづらさ(イナーシャ)など、そういったものを考えています。

それら諸々の要因たちもきっと計算できるのでしょうが、計算するのが大変なのでとりあえずひとまとめにして外乱としてしまってランダムな値を与えてやることとします。

これで一通り運動方程式を立てることができました。あとはこれらをモデルで表してやればプラントモデルの完成です。

具体的なモデルの書き方は別の記事で解説したいと思います。

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